Bei meinem Pono-Artikel habe ich gemerkt, wie exakt man sein Wissen mit Fakten untermauern muss. Ich habe in dem Artikel behauptet, dass “es prinzipiell keine Qualitätsminderung bei der Digitalisierung” gibt. Das hat zum Beispiel Mick Bender (der bei dem Pono-Artikel kommentierte) nicht gefallen. Ich möchte nun genauer auf die Digitalisierung eingehen. 

Jegliches aufgenommene Signal ist zunächst analog. Um daraus eine digitale Version zu machen muss es digitalisiert werden. Um dies zu realisieren gibt A/D-Wandler (Analog/Digital-Wandler). Es gibt verschiedene Arten von A/D-Wandlern, aber darauf möchte ich zunächst nicht eingehen.

Die Frage ist vielmehr: Was passiert mit dem Signal?

Digitizing

Wenn man digitalisiert wird ein werte- und zeitkontinuierliches Signal in ein werte- und zeitdiskretes Signal überführt. Das bedeutet anstatt für jeglichen Zeitpunkt einen exakten Wert zu haben, hat man bei dem digitalisiertem Signal zu bestimmten Zeitpunkten (Samples) quantisierte, d.h. in diesem Fall “gerundete”, Werte.

“OH GOTT! Wir runden und haben nur noch zu bestimmten Zeitpunkten “gerundete” Werte? Dem Signal fehlt jetzt ja etwas!”, mag sich jetzt jemand denken. Das ist so aber nicht ganz richtig.

Ich habe im Pono-Artikel angemerkt:

Das Prinzip der Digitalisierung greift letzten Endes auf Fourier und Nyquist zurück. Wenn man die höchstvorkommende Frequenz kennt, kann man das Signal verlustfrei digitalisieren (Nyquist-Shannon-Theorem). Damit ist bewiesen, dass prinzipiell bei der Digitalisierung keine Qualitätsminderung entsteht (wenn man es richtig macht). Man muss auf die ADCs und DACs achten, denn diese können das Signal erheblich beeinflussen. Analog klingt also nicht besser als Digital! Eine Schallplatte klingt nicht besser als eine CD! An sich ein Unding, dass so viele Musiker unwissend darüber reden und ihr Gesicht dafür hergeben.

Ich muss zugeben, dass Mick Bender dies zurecht kritisiert hat. Es ist nicht wirklich exakt und wissenschaftlich, was ich nun nachholen möchte. Das mache ich Schritt für Schritt und fange heute an zu erklären, was Fourier und Nyquist mit der Digitalisierung zu tun haben. Dies ist quasi die theoretische Grundlage.

Fourier

Was bedeutet Fourier? Nun der kluge Herr Fourier hat herausgefunden, dass man jedes periodische Signal als eine Addition von Sinus-/Cosinuswellen verschiedener Frequenzen/Amplituden/Phasen betrachten kann. Diese Addition müsste allerdings bis ins Unendliche weitergetrieben werden um eine exakte Abbildung des vorherigen Signals zu erlangen.

Annäherung Rechteck ©Rene Schwarz

Annäherung an ein Rechteck-Signal mittels Fourier ©Rene Schwarz

komplexe Fourier-Funktion

Die daraus resultierende Fourierreihe funktioniert jedoch (wie zuvor erwähnt) nur bei periodischen Signalen. Um auch nicht-periodische Signale mit diesem praktischen Werkzeug analysieren zu können muss man das Signal “zwingen” periodisch zu werden (oszillierend:Fourier-Transformation; exponentiell-abfallend: Laplace-Transformation).

Für das Prinzip dahinter ein YouTube-Video von dem großartigem Jörn Loviscach, der mir eine große Hilfe im Studium war.

Ich werde nicht zu detailliert in das Thema Laplace/Fourier einsteigen, da dies wirklich kompliziert ist. Ich habe sehr viel Zeit damit verbracht, um all dies zu lernen. Ein kurzer Blog-Post kann diese Prinzipien nicht in all ihrer Komplexität erklären. Falls Fragen auftreten: Gerne in der Kommentarsektion fragen, ich werde dann antworten. Die Videos von Jörn helfen jedoch auch weiter oder das Applet der Helmut Schmidt Universität (siehe ganz unten).

Nyquist

Wir lernen also, dass man jedes Signal durch Sinus-/Cosiunsschwingungen zusammensetzten kann. Jetzt kann man schlussfolgern, dass man also “lediglich” Sinus-/Cosinusschwingungen erkennen müsste – und zwar bis zur Grenzfrequenz – weil man dadurch ja das gesamte Signal aufbauen könne. Und so ist es auch.

Wie erkenne ich nun Sinus-/Cosinusschwingungen? Sie sind beschrieben durch ihre Frequenz und ihre Amplitude sowie Phase. Um die Frequenz einer Sinus- oder Cosinusfunktion zu erkennen genügen mir genau zwei Abtastwerte innerhalb dieser. Mehr nicht. Es könnte jedoch den Fall geben, dass man mit den Abtatswerten genau die beiden Nulldurchgänge einer Funktion erwischt. Um dies zu verhindern muss man mit einer etwas höheren als der doppelten Frequenz des bandbegrenzten Signals abtasten. wir hören von 20Hz bis 20kHz (wahrscheinlich nur die wenigsten und Jungspunde) also reichen mir ca. 40 kHz Abtastrate. Die CD hat eine Abtastrate von 44,1 kHz – man könnte also bis ca. 22 kHz Signale abtasten. Das macht man aber nicht. Die Überabtastung bietet andere Vorteile, die ich vielleicht später erläutern werde.

Um mit all diesen Dingen herumzuspielen empfiehlt sich folgendes Applet der Helmut Schmidt Universität. Dann versteht man es vielleicht einfacher, weil es anschaulicher ist.

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